Matemática - aula 5 - Geometria: medidas, áreas e volumes (I)

A demonstração do Teorema de Pitágoras(via experimento ...

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www.youtube.com/watch?v=bS-D0XeFMPQ

Professor: Por favor observe que nesta página estão as resoluções dos exercícios 1 e 5 

Texto 1 - exercício 1

Teorema de Pitágoras:   http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm28/torema.htm

Recordemos algumas noções: Definição: Um triângulo é rectângulo quando tem um ângulo recto (Ângulo recto- quando a medida da sua amplitude é 90º) Definição: Num Triângulo ao lado oposto ao ângulo recto chamamos hipotenusa e aos outros dois lados catetos. Teorema de Pitágoras: Em qualquer triângulo rectângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos Este teorema tem despertado a curiosidade de muitos matemáticos. Ao longo dos séculos foram apresentadas várias demonstrações do teorema de Pitágoras (no livro de Loomis contam-se 370 demonstrações diferentes). Acompanhou-nos a todos nós durante a nossa vida escolar, conhecemo-lo e muito, dos bancos de escola. Dada a sua importância no ensino, e não só, pensamos que é fundamental um professor ser conhecedor de algumas demonstrações deste teorema tão célebre. Desta forma, possibilita aos alunos o "contacto" com diferentes tipos de raciocínios mostrando-lhes que não existe um único processo de demonstração. Vamos, então, expôr algumas demonstrações. DEMONSTRAÇÃO 1

Esta demonstração foi elaborada por James Abram Garfield, um general que foi eleito presidente dos Estados Unidos por quatro meses (assassinado em 1881). James Garfield gostava muito de Matemática. Sua prova foi baseada numa figura, o trapézio, formada por três triângulos rectângulos.

área do trapézio = [(base maior + base menor) / 2] × altura  = área do trapézio = soma das áreas dos triângulos,

então (b + c)2 = 2 × bc + a2 b2 + 2bc + c2 = 2 × bc + a2 Þ b2 + c2 = a2 logo a2  = b2 + c2

TEXTO 3 - EXERCÍCIO 5

Uma peça foi construída retirando, de um cilindro maciço, uma forma cônica, de acordo com a figura 01 a seguir. Qual a área total e o volume da peça?

Para encontrar a área total:

- área da base = π * r²

- área da lateral: π * r * g

S = π * r² + π * r * g

S = π * r ( g + r )

S = π * 5 ( g + 5)  ...

para encontrar g 

a² = b² + c²

g² = 12² + 5²
g² = 144 + 25
g =  √ 169
g = 13

S = π * 5 ( 13 + 5 )

S = π * 90

S = 282,60 cm

Volume = area da base * altura / 3

V = π * r² * h / 3

V = π * 25 * 12 / 3

V = π 300 / 3 

V = 100 π = 314 cm