Matemática - aula 27 - Matemática e Música (I)

1. Vimos que o princípio utilizado na construção da escala pitagórica foi a relação entre os sons consonantes e a divisão da corda do monocórdio em frações de números inteiros simples (1, 2, 3 e 4). As duas principais consonâncias utilizadas na sua construção foram o diapason (ou oitava justa), que é obtida quando dividimos a corda em 1⁄2 do seu comprimento e o diapente (ou quinta justa), que corresponde à divisão da corda em 2/3 de seu comprimento. Em música, uma nota e sua oitava são consideradas notas equivalentes. Embora diferentes em termos sonoros (grave e agudo), elas recebem o mesmo nome na maior parte das escalas musicais (Dó - Dó; Sol – Sol; etc) Pitágoras usou um ciclo de quintas justas para construir uma escala com 7 notas musicais, com uma amplitude equivalente à uma oitava. Ou seja, as divisões da corda deveriam se localizar entre a metade da corda e seu comprimento total. Assim, toda vez que a fração obtida fosse menor que 1⁄2, era necessário obter uma nota equivalente uma oitava abaixo, dobrando o tamanho dessa
fração.
Por exemplo: partindo da corda de comprimento unitário, a primeira divisão corresponde a 2/3 de seu comprimento (um ciclo de quinta justa); a segunda divisão (segundo ciclo de quinta justa) corresponde a 2/3 de 2/3, ou seja, 4/9 do comprimento da corda, que é menor que 1⁄2. Portanto, aplicamos um ciclo de oitava para obter uma nota equivalente mais grave, que corresponde a 8/9 do comprimento inicial. E o processo continua, sempre aplicando ciclos de quintas justas e ciclos de oitavas quando necessário. Dessa forma, é possível obter as frações correspondentes às notas de uma escala musical compreendidas entre a metade da corda solta e seu comprimento total. Num violão, por exemplo, essas medidas estão marcadas ao longo do braço do instrumento, como mostra a figura:
Com base nessas informações, responda às questões abaixo:

a) Quantos ciclos de quintas e oitavas são necessários para se obter a nota correspondente a 128/243 (ou aproximadamente 52,67%) do comprimento da corda solta?
          5 ciclos
b) Que fração da corda obteremos após 8 ciclos de quinta e 4 de oitava? A que porcentagem do comprimento da corda essa fração corresponde?
           62,43%
c) E após 12 ciclos de quintas e 7 de oitava?
           98,65%
d) Qual dessas frações anteriores mais se aproxima do comprimento inicial da corda?
          Após 12 ciclos