Matemática - aula 4 - Números: uma visão histórica; os números √2, π, φ (II)

Exercícios da vídeoaula 4

Números: uma visão histórica (II)

1) Na vídeoaula você viu que todos os papeis da chamada “série A” são retângulos que, quando dobrados ao meio pelo eixo de simetria perpendicular ao maior lado, geram retângulos semelhantes ao retângulo original. Dizendo de outra forma, são retângulos cuja razão entre o maior e o menor lado é igual ao número irracional 2 .
A maior folha retangular da série A de papel, denominada folha A0, além de atender à condição que define a série, possui 1 m2 de área. Determine o comprimento e a largura do papel A0.
A4 = 210 X 297 mm
A3 = 297 X 420 mm
A2 = 420 X 594 mm
A1 = 594 X 840 mm
A0 = 840 X 1,188 mm = 988 mm ≈ 1m³


2) Revendo a definição de retângulo áureo (ou retângulo de ouro) dada na vídeo aula, determine o valor de x no retângulo indicado abaixo para que ele seja áureo.
Se o retângulo áureo é aquele que apresenta razão entre os lados de 1,618, então, se um lado tem 8 cm o outro terá necessariamente que ser igual a 12,94 cm.

3) O vídeo que você assistiu (ao final da vídeoaula) apresenta uma relação entre a sequência de Fibonacci e o número φ, também chamado de razão áurea (razão de ouro) ou proporção áurea (proporção de ouro). Enumere os 12 primeiros números de Fibonacci e calcule uma aproximação da razão áurea por meio dos dois últimos números da sequência (denote essa aproximação de φ*).
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...
2/1 = 2
3/2 = 1,500
5/3 = 1,6667
8/5 = 1,600
13/8 = 1,6250
21/13 = 1,6250
34/21 = 1,6190
55/34 = 1,6176
89/55 = 1,6182 
144/89 = 1,618
233/144 = 1,6181

4)Lembrando que a razão áurea é φ= 2 aproximação obtida no exercício anterior (φ*) em relação ao valor de φ. (obs. o erro é dado pela diferença entre φ e φ*).
2/1 = 2             0,382
3/2 = 1,500     -0,118
5/3 = 1,6667    0,049
8/5 = 1,600     -0,0180
13/8 = 1,6250    0,007
21/13 = 1,6250    -0,003
34/21 = 1,6190     0,001
55/34 = 1,6176    -0,001
89/55 = 1,6182     0
144/89 = 1,618      0
233/144 = 1,6181  0 

5) Observe a sequência a seguir ... , calcule o erro cometido pela  ...
a) Calcule a fração resultante em cada um dos quatro termos da sequência.
1+1/1+1 = 1+1/2 = 3/2
1+1/[1+1/(3/2)] = 5/3
1+1/[1+1/(5/3)] = 8/5
1+1/[1+1/(8/5)] = 13/8

b) Qual a relação entre essa sequência e φ?
Essa sequencia apresenta a mesma ração áurea.